История математики
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Geometry problem on a clay tablet belonging to a school for scribs; Susa, first half of the 2nd millennium BCE
В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний:
1. Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов.
2. Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей иобъёмов простых фигур и тел.
3. Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся (хорошо бы новые знания получать таким путем)
4. Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков.
5. В XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной[1], и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости переменных величин (функция) и общая теория движения (анализ бесконечно малых).
6. XIX-XX века: «основной вопрос философии математики»[2]: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках»[3]. В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на множество дискутирующих школ. Наметилось несколько опасных тенденций[4]: чрезмерно узкая специализация, изоляция от практических задач и др.
Древняя Греция
пифагорейская школа выдвинула тезис «Числа правят миром»
Первое — греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики (гарантирующих истинность выводов при условии, что истинны предпосылки).
Второе — они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию.
Индия
Современные числа – от индийских. Арабы переняли у индийцев.
Исламское средневековье
Средние века в Европе
Поначалу наука угасает. Начинает восстанавливаться с 11 века.
Первым крупным математиком средневековой Европы стал в XIII веке Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи… Фибоначчи был хорошо знаком (по арабским переводам) с достижениями древних и систематизировал значительную их часть в своей книге. (Первый этап – систематизация достигнутых знаний в данной области. Но это лишь первый этап.)
XVI век
великое открытие XVI века — изобретение логарифмов (Джон Непер).[17]Сложные расчёты упростились во много раз
в изобилии появляется множество практических задач, требующих решения — в артиллерии, мореплавании, строительстве, промышленности, гидравлике, астрономии, картографии, оптике и др. И, в отличие от античности, учёные Возрождения не чурались таких задач. Чистых математиков-теоретиков фактически не было… появляется множество учёных-непрофессионалов: Стевин — военный инженер, Виет и Ферма — юристы, Дезарг иРен — архитекторы, Лейбниц — чиновник, Непер, Декарт, Паскаль — частные лица
XVII века
Рене Декарт исправляет стратегическую ошибку античных математиков и восстанавливает алгебраическое понимание числа (вместо геометрического).[20] Более того, он указывает способ перевода геометрических предложений на алгебраический язык (с помощью системы координат), после чего исследование становится намного эффективнее. Так родилась аналитическая геометрия. Декарт рассмотрел множество примеров, иллюстрирующих огромную мощь нового метода, и получил немало результатов, неизвестных древним (повенчал геометрию и алгебру)
Пьер Ферма, Гюйгенс и Якоб Бернулли открывают новый раздел математики, которому суждено большое будущее — теорию вероятностей. Якоб Бернулли формулирует первую версию закона больших чисел
анализ произвольных гладких кривых с помощью разложения их на бесконечно малые отрезки прямых (аналогично узнаванию площади неизвестной фигуры по известной. Необходимость движения)
В конце XVII века идея неделимых была существенно расширенаНьютоном[26] и Лейбницем[27], и появился исключительно могучий инструмент исследования — математический анализ. Это математическое направление стало основным в следующем, XVIII веке.
Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»).[28]
XVIII век
XVIII век в математике можно кратко охарактеризовать как век анализа, который стал главным объектом приложения усилий математиков. – появление математической физики
В науке, благодаря Ньютону, царила механика — все прочие взаимодействия считались вторичными, следствиями механических процессов. Развитие анализа и механики происходили в тесном переплетении; первым это объединение осуществил Эйлер, который убрал из ньютоновской механики архаичные конструкции и подвёл под динамику аналитический фундамент (1736). С этого момента механика стала прикладным разделом анализа. Процесс завершил Лагранж, чья «Аналитическая механика»[29] демонстративно не содержит ни одного чертежа.
Главным методом познания природы становится составление и решение дифференциальных уравнений. После динамики точки настал черёд динамики твёрдого тела, затем — жидкости и газа. Прогрессу в этой области немало способствовал спор о струне
Лидером математиков XVIII века был Эйлер, чей исключительный талант наложил отпечаток на все основные математические достижения столетия.[32] Именно он сделал из анализа совершенный инструмент исследования. Эйлер существенно обогатил ассортимент функций, разработал технику интегрирования, далеко продвинул практически все области математики. Наряду сМопертюи он сформулировал принцип наименьшего действия как высший и универсальный закон природы.
XIX век
математика, так сказать, встроена в мироздание, является его идеальной основой. Другими словами, познание в математике есть часть познания реального мира
· В геометрии, алгебре, анализе появляются многочисленные нестандартные структуры с необычными свойствами: неевклидовы и многомерные геометрии,кватернионы, конечные поля, некоммутативные группы и т. п.
· Объектами математического исследования всё больше становятся нечисловые объекты: события, предикаты, множества, абстрактные структуры, векторы, тензоры,матрицы, функции, многолинейные формы и т. д.
· Возникает и получает широкое развитие математическая логика, в связи с чем появилось искушение связать именно с ней коренные основания математики.
· Георг Кантор вводит в математику предельно абстрактную теорию множеств, а заодно понятие актуальной бесконечности произвольного масштаба. В конце века при попытке обосновать фундамент математики на основе теории множеств были обнаружены противоречия, которые заставили задуматься над непростыми вопросами: что означает «существование» и «истинность» в математике?
· Крупнейшим достижением стало введение понятия вектора и векторного поля. Первоначально векторы ввёл У. Гамильтон в связи со своими кватернионами (как их трёхмерную мнимую часть). У Гамильтона уже появилось скалярное и векторное произведение. Сверх того, Гамильтон ввёл дифференциальный оператор («набла») и многие другие понятия векторного анализа, в том числе определение вектор-функции итензорного произведения.
· Большое влияние на развитие математики имела знаменитая речь Римана (1854) «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».[37] Риман определил общее понятие n-мерного многообразия и его метрику в виде произвольной положительно определённой квадратичной формы. Далее Риман обобщил теорию поверхностей Гаусса на многомерный случай; при этом появляются знаменитый риманов тензор кривизны и другие понятия римановой геометрии. Существование неевклидовой метрики, по Риману, может объясняться либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи.
· В самом конце века рождается топология, сначала под названием analysis situs. Топологические методы фактически в ряде работ использовали Эйлер, Гаусс, Риман, Жордан и др. Вполне ясно предмет новой науки описывает Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе». Окончательно комбинаторная топология оформилась в работах Пуанкаре (1895—1902).
· Какое отношение развитие математики имеет к общему развитию цивилизации? «Многочисленные прикладные задачи деятельно стимулировали теориюдифференциальных уравнений, выросшую в обширную и плодотворную математическую дисциплину», т.е. практическое развитие задает теории задачи. Так был с Египта и древней Греции.
· У. Гамильтон открыл удивительный некоммутативный мир кватернионов.
· Возникла геометрическая теория чисел (Минковский).
· В конце XIX века в математику входят группы Ли.
· Во всех развитых странах возникают статистические департаменты/общества. Благодаря работам Карла Пирсона возникает математическая статистика с проверкой гипотез и оценкой параметров.
· После неудачи проекта «Универсальной характеристики» Лейбница прошло полтора века, прежде чем попытка создать алгебру логики повторилась. Но повторилась она на новой основе: концепция множества истинности позволила построить математическую логику как теорию классов, с теоретико-множественными операциями. Пионерами стали британские математики Август (Огастес) де Морган и Джордж Буль.
· Готлоб Фреге построил исчисление высказываний. Чарльз Пирс в конце XIX века изложил общую теорию отношений ипропозициональных функций, а также ввёл кванторы. Современный вариант символики предложил Пеано. После этого всё было готово для разработки в школе Гильберта теории доказательств.
· В 1873 году Георг Кантор ввёл понятие произвольного числового множества, а затем и общее понятие множества — самого абстрактного понятия в математике… Первое противоречие обнаружилось при рассмотрении самого большого множества — множества всех множеств (1895). Его пришлось исключить из математики как недопустимое. Однако появились и другие противоречия (антиномии).
Основные направления:
1. Неевклидова геометрия
2. Математический анализ: дифференциальные уравнения, векторный анализ
3. Теория вероятностей
4. Теория чисел
5. Математическая логика
XX век: основные достижения
В 1900 году Давид Гильберт на Международном конгрессе математиков представил список из 23 нерешённых математических проблем. Эти проблемы охватили множество областей математики и сформировали центр приложения усилий математиков XX столетия. Сегодня десять проблем из списка решены, семь частично решены, и две проблемы всё ещё открыты. Оставшиеся четыре сформулированы слишком обобщённо, чтобы имело смысл говорить об их решении.
Особенное развитие в XX веке получили новые области математики; кроме компьютерных потребностей, это во многом связано с запросами теории управления, квантовой физики и других прикладных дисциплин.
§ Информатика и кибернетика.
§ Методы математической статистики.
§ Теория алгоритмов.
- Теория игр.
- Теория информации.
- Теория компьютерного моделирования.
- Теория
оптимизации, в том числе глобальной.
- Теория случайных процессов.
- Топология.
- Функциональный анализ
- Математическая физика
- Риманова геометрия
- Теория вероятностей
Среди наиболее выдающихся математиков XX века можно назвать (помимо отдельно упомянутых в данном разделе) такие имена:
§ Жак Адамар — теория чисел.
§ Павел Сергеевич Александров — топология.
§ Стефан Банах — функциональный анализ, теория множеств.
§ Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр — анализ, топология, теория множеств, философия математики.
§ Герман Вейль — алгебра, анализ, теория чисел, математическая логика, математическая физика и др.
§ Норберт Винер — создатель кибернетики.
§ Израиль Моисеевич Гельфанд — функциональный анализ, топология, алгебра, группы Ли, математическая физика и др.
§ Жан Дьёдонне — функциональный анализ, группы Ли, топология, алгебраическая геометрия.
§ Анри Картан — анализ, топология.
§ Джон фон Нейман — математическая логика и теория компьютеров, математическая физика, теория множеств, информатика,экономика, теория игр и др.
§ Альфред Тарский — математическая логика.
§ Альфред Норт Уайтхед — математическая логика.
§ Феликс Хаусдорф — топология, теория множеств, функциональный анализ, теория чисел.
§ Александр Яковлевич Хинчин — теория вероятностей.
§ Алонзо Чёрч — информатика, математическая логика.
§ Клод Элвуд Шеннон — информатика, кибернетика.
§ Эрнст Цермело — математическая логика, теория множеств.
В 1910-х годах Рамануджан сформулировал более чем 3000 теорем
В 1931 году Курт Гёдель опубликовал две свои теоремы о неполноте, которые установили ограниченность математической логики. Это положило конец замыслу Давида Гильберта создать полную и непротиворечивую систему оснований математики. Несколько ранее (начиная с 1915 года) исследования Лёвенгейма и Сколема обнаружили ещё один обескураживающий факт: никакая аксиоматическая система не может быть категорична. Другими словами, как бы тщательно мы ни формулировали систему аксиом, всегда найдётся интерпретация, совершенно не похожая на ту, ради которой эта система проектировалась. Это обстоятельство также подрывает веру в универсальность аксиоматического подхода.
В 1933 году А. Н. Колмогоров завершил (общепризнанную теперь) аксиоматику теории вероятностей.
Эндрю Уайлс доказал последнюю теорему Ферма в 1995 году, закрыв многовековую проблему.
Интенсивно развивается теория многомерныхмногообразий, стимулируемая потребностями физики (ОТО, теория струн и др.).
Массовый интерес вызвали фракталы, открытые Бенуа Мандельбротом (1975). (Часть топологии)
Герман Минковский в 1907 году разработал геометрическую модель кинематики специальной теории относительности, позднее послужившую основой для Общей теории относительности (ОТО). Обе эти теории послужили стимулом для быстрого развития многомерной дифференциальной геометрии произвольных гладких многообразий — в частности, римановых ипсевдоримановых.
(А также: фон Нейманн: самовоспроизводящиеся механизмы)
Основные направления математики в 20 веке:
1. Информатика и кибернетика, искусственный интеллект
2. Теория игр
3. Теория групп Ли: теория всего
4. Топология